Ads (728x90)

, , ,

Thiết kế website và Marketing 22:52 A+ A- Print Email

Tìm GTLN,GTNN của hàm số


A. Tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của hàm số


Bài toán 1: Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số trên miền các định hay một khoảng.
Phương pháp:
  • Tìm tập xác định
  • Tính y'
  • Giải phương trình y'=0 (các điểm tới hạn ) và tính giá trị tại các điểm tới hạn .
  • Lập bảng biến thiên , căn cứ bảng biến thiên \Rightarrow GTLN,GTNN.
Bài toán 2: Tìm GTLN,GTNN của hàm số trên một đoạn [a,b]?
Phương pháp:
  • Tính y'
  • Giải phương trình y'=0, để tìm các nghiệm {x_1;x_2;...;x_n}\in[a;b]
  • Tính các giá trị f(x_1),f(x_2),...,f(x_n) và f(a),f(b)
  • GTLN là số lớn nhất trong các giá trị vừa tìm
  • GTNN là số bé nhất trong các giá trị vừa tìm.
Ví dụ:
a) Tìm giá trị lớn nhất , giá tẹi nhỏ nhất của hàm số:  y=\sqrt {2x-x^2}
b) Tìm giá trị lớn nhất , giá tẹi nhỏ nhất của hàm số: y=\frac{x^2+x+1}{x} trên đoạn\left[{\frac{1}{2};2}\right]
Hướng dẩn giải:
a)
  • Tập xác định : D=[0;2]
  • y'=\frac{1-x}{\sqrt{2x-x^2}}
  • y'=0 \Leftrightarrow x=1 \Rightarrow y=1
  • Bảng biến thiên:( các em tự lập)
  • Kết luận:
\max \mathop {f(x)}\limits_{\left[ {0,2} \right]}=f(1)=1
\min \mathop {f(x)}\limits_{\left[ {0,2} \right]}=f(0)=0
b)
  • y'=\frac{x^2-1}{x^2}
  • y'=0 \Leftrightarrow x^2-1=0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x=1\in\left[\frac{1}{2};2\right] \\ x=-1\notin\left[\frac{1}{2};2\right] \end{array}\right.
  • Ta có y(\frac{1}{2})=\frac{7}{2}, y(1)=3, y(2)=\frac{7}{2}
  • Kết luận:
\mathop{\min}\limits_{[\frac{1}{2};2]}f(x)=f(2)=f(\frac{1}{2})=\frac{7}{2}
\mathop{\max}\limits_{\left[{\frac{1}{2};2}\right]} f(x)=f(1)=3
Bài tập rèn luyện:
Bài 1: Tìm GTLN,GTNN của hàm số
a) f(x)=x^3-8x^2+16x-9 trên đoạn [1;3].
b) f(x)=x^3-3x+1 trên đoạn [0;2].
c) f(x)=-2x^4+4x^2+3 trên đoạn [0;2].
Bài 2: Tìm GTLN,GTNN của hàm số
a) y=f(x)=2sinx-\frac{4}{3}\sin ^2 x trên đoạn [0;\pi].
b) y=f(x)=x^2.e^x trên đoạn [-3;2].
c) y=f(x)=sin^3x-cos2x-sinx+2
d) y=f(x)=sin2x-x trên đoạn \left[ {-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right].
Bài 3: Tìm GTLN,GTNN của hàm số
a) y=f(x)=(x+2)\sqrt{4-x^2}
b) y=f(x)=(3-x)\sqrt{x^2+1}
c) y=f(x)=x-5+\sqrt{4-x^2}


B. Tìm điều kiện để hàm số y = f(x,m) có GTLN (GTNN) trên đoạn [a; b] là một số cho trước

Phương pháp giải:

Giả sử bài toán yêu cầu: Tìm giá trị của tham số m để hàm số y=f(x,m) có giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất ) trên đoạn [a;b] là M (là m), ta có thể tiến hành theo một tring các cách sau.
Chú ý: Hàm số y=f(x,m) liên tục trên [a;b]
Cách 1:
  • Tính đạo hàm f'(x,m)
  • Gải phương trình f'(x,m)=0 để tìm các nghiệm {x_1;x_2;...;x_n}\in[a;b]
  • Tính các giá trị f(x_1),f(x_2),...,f(x_n) và f(a),f(b)
  • Từ các kết quả trên, xác định GTLN (GTNN) của hàm số , giả sử là f(x_i)
  • Giải phương trình f(x_i)=0 để tìm nghiệm m
  • Nêu kết luận cho bài toán để hoàn tất bài toán.
Cách 2:
  • Xác định điều kiện để bất phương trình : f(x)\le M được thỏa mãn \forall x \in [a;b]
  • Giải điều kiện vừa tìm để xác định các giá trị của m thỏa điều kiện vừa nêu
  • Xác định điều kiện để phương trình: f(x, m) = 0 có nghiệm x\in [a; b]
  • Giải điều kiện vừa tìm để xác định các giá trị của m thỏa điều kiện
  • So sánh các giá trị của m tìm được ở các bước 2 và 3 để chọn ra giá trị m thỏa bài toán
  • Nêu kết luận cho bài toán để hoàn tất bài toán.
Cách 3:
  • Tính đạo hàm f'(x,m)
  • Giải phương trình f'(x, m)=0 để tìm các nghiệm {x_1;x_2;...;x_n}\in[a;b]
  • Tính các giá trị f(x_1),f(x_2),...,f(x_n) và f(a),f(b)
  • Lần lượt giải các phương trình: f(x_1)=M , f(x_2)=M, ... , f(x_n)=M,f(a)=M,f(b)=Mđể tìm các nghiệm m_0 của chúng
  • Thay m=m_0 vào hàm số và kiểm  tra trực tiếp xem giá trị m_0 thực sự thỏa bài toán để nhận  hoặc loại giá trị m_0
  • Nêu kết luận cho bài toán để hoàn tất bài toán.
Bài tập 1:
Xét hàm số: y=x^2-2mx-m+2 . Xác định giá trị của tham số $latex m$ sao cho hàm số giá trịlớn nhất trên [1; 3] là 6
Hướng dẩn giải:
  • Ta có đạo hàm y': y'=2x-2m, vậy y'=0 \Leftrightarrow 2x-2m=0 \Leftrightarrow  x=m
  • Nhận xét rằng : \forall x \in R, y(m)\le y(1),y(3)
  • Do vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất trên [1;3] hoặc tại x=1 hoặc tại x=3, suy ra
  • y(1)=6     (1)
  • y(3)=6    (2)
  • Do y(1)=-3m+3, nên từ (1) suy ra m=-1
  • Do y(3)=-7m+11, nên từ (2) suy ra m=\frac{5}{7}
Với m=-1, thay vào hàm số ta được: y=x^2+2x+3.
Bảng biến thiên: (các em tự lập)
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên [1;3] là 18 , suy ra m=-1 không thỏa bài toán
Suy ra m=-1 loại
Với m=\frac{5}{7} , thay vào hàm số ta được : y=x^2-\frac{10}{7}x+\frac{9}{7}
Bảng biến thiên: (các em tự lập)
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên [1;3] là 6
Suy ra giá trị m=\frac{5}{7} thỏa mãn bài toán .
  • Kết luận: Giá trị cần tìm :m=\frac{5}{7}

Đăng nhận xét

Đăng ký: Đăng Nhận xét (Atom)